Prevedi ovo na srpski.

Darker:
   
Zagonetka matematičke zagonetke
Neuhvatljivi dokazivač
Grigorij Jakovljevič Pereljman rešio Poenkareovu pretpostavku, jednu od sedam najtežih, odbivši prestižnu nagradu i veliki novac

Odgonetnuta je gotovo vek nedokučiva matematička zagonetka, i iznova zaogrnuta tajnom. Isprva se tragalo za neuhvatljivim dokazom, sada za neuhvatljivim dokazivačem.

U novom zamešateljstvu – namerno ili nenamerno – glavni junak je tajanstveni Grigorij Jakovljevič Pereljman, odmila zvani Griša, koji nije nedavno otputovao u Madrid na uručenje Fildsove medalje, svojevrsne Nobelove nagrade u matematici.

Ostaloj trojici (Andrej Okunkov, Terens Tao i Vendelin Verner) krajem avgusta predata su priznanja na svečanom otvaranju Međunarodnog kongresa matematičara kojem je predsedavao španski kralj Huan Karlos. Nikad se nije dogodilo da neko odbije prvu počast, što je ceo slučaj obogatilo svakojakim nagađanjima u glasilima, iako najmanje osporavanjem zasluga.

Nasuprot tome, dodela odličja s likom Alfreda Nobela, najviše iščekivana svake godine među naučnicima, izostala je šest puta: dvaput su ga se odrekli slavodobitnici, četiri puta su ih zemlje iz kojih dolaze sprečile da otputuju u Stokholm.

Lopta, cigara i zečja glava

Predsednik Međunarodnog matematičkog udruženja Džon Bol izjavio je pre saopštavanja dobitnika da nije jasno šta bi se moglo desiti s novcem i kolajnom ukoliko se slavodobitnik ne pojavi.

Ruski osamljenik rešio je, naime, čuvenu pretpostavku francuskog matematičara, fizičara i filozofa Žila Anrija Poenkarea iz 1904. godine, i nekoliko stotina stranica izračunavanja obznanio u tri navrata na internetu 2002. i 2003. I nijednom u nekom naučnom časopisu, kako je decenijama uobičajeno. Još jedna začkoljica pomislićete i nećete su suviše udaljiti od istine.

U najkraćem, zamisao se sastoji u opisivanju trodimenzionalnih površi u četvorodimenzionalnom prostoru.

Naizgled jednostavna, ona označava da lopta (sfera) s dvodimenzionalnom površinom (kao sve u našem svakodnevnom iskustvu) ima suštinsku odliku da se čvor na omči oko ma koje tačke može razvući do pojedinačne tačke, a da se ne prekine nit ili ne preseče dotični geometrijski oblik. Nasuprot tome, torusi (a to je svaki đevrek koji u slast pojedete) nema takvo svojstvo.

Za dvodimenzionalnu je odgovor dao sam Anri Poenkare iste godine, pretpostavivši da slična tvrdnja važi i za sfere s trodimenzionalnom površinom ili skup tačaka u četvorodimenzionalnom prostoru koji se nalazi na podjednakom rastojanju od središta – date tačke u tom prostoru. Ispostavilo se da je to toliko glavobolno da je odolelo domišljatosti mnoštva uglednih matematičara.

Pomenuta hipoteza je veoma bitna za topologiju, matematičku granu koja izučava oblike, ponekad nazivanu geometrija bez pojedinosti. Za topologa su lopta, cigara i zečja glava isto, jer ih možete preobraziti (preoblikovati), poput mađioničara, jedne u druge. Na isti način su istovetne šolja za kafu ili đevrek, mada nemaju ničeg zajedničkog s prethodnim oblicima.

Drugim rečima, ukazuje se da sve što nema šupljinu može da bude lopta, uz jedno ograničenje – mora biti zbijeno ili zatvoreno, što znači konačnog obima.

Iako zamisao veoma učenog Francuza obuhvata ma koji konačan broj dimenzija, pokazalo se da je najteže dokaziva za tri. Šezdesetih godina potkrepljeno je da je tačna za pet i više dimenzija, za prvi slučaj veoma mukotrpno (Stiven Smejl, sada y „Tojotinom” tehnološkom institutu u Čikagu). Dve decenije kasnije istinitost je potvrđena i za četiri dimenzije (Majkl Fridman koji je danas zaposlen u „Majkrosoftu”).

Neće milion, bere pečurke

Najtvrđi orah s tri dimenzije slomio je Grigorij Jakovljevič Pereljman, zato je to u matematičkom svetu odjeknulo kao grom iz vedra neba. Koristio je postupak poznat pod imenom Ričijev tok, koji je osamdesetih godina predložio Ričard Hamilton sa Kolumbija univerziteta, da za svaki oblik geometrijskog prostora postoji pravilo (formula) koje određuje razdaljinu između ma kojeg para bliskih tačaka.

Zastoj je nastao kada je ovo saznanje trebalo primeniti na čvorovima, pletenicama i svakojakim uvijenim oblicima. Čini se da je izlaz iz ćorsokaka, ne držeći se Arijadnine niti, pronašao samotnjak iz Sankt Peterburga (rođen 1966), koji je s najvišim skorom zablistao na Matematičkoj olimpijadi 1982, potom odbranio doktorat i na kraju se zaposlio u čuvenom Institutu za matematiku „Steklov” u rodnom gradu. S nekoliko stipendija za posledoktorsko usavršavanje ranih devedesetih se otisnuo u SAD, boravio na nekoliko univerziteta i zadivio sve učenjake kao da je „stigao s druge planete”, veoma stidljiv, ljubazan i nimalo sklon materijalnom blagostanju.

Uprkos primamljivim ponudama da ostane, u Rusiju se vratio 1995. ili 1996. godine. Krajem 2002. i početkom 2003. izazvao je ogromno uzbuđenje među bratijom obelodanivši na internetu nekoliko stotina stranica dokaza u kojima je potvrdio hipotezu Žila Anrija Poenkarea za trodimenzionalne sfere. Nije želeo da objavi članak ni u jednom uglednom časopisu, prepustivši svima koji sebe smatraju upućenim i veštim da do mile volje proveravaju nalaze.

Posle toga je napustio posao, prezrevši slavu i novac, potpuno se osamio. Slučajni prolaznici ga povremeno sreću na dugim šetnjama šumama u okolini Sankt Peterburga kako sakuplja pečurke. Sredinom avgusta u potragu za neuhvatljivim dokazivačem neuhvatljive zagonetke krenuli su uporni novinari britanskog lista „Sandej telegraf”. Imali su sreće da ga jednom doprate do stana u kojem živi s majkom i da mu iscede škrtu izjavu da „ne smatra da išta što kaže može biti od javnog interesa”, jer je svoje proračune već objavio.

Čuveni Klejov institut za matematiku iz Kembridža (SAD) na početku 2000. ponudio je po milion dolara za svaki od sedam nerazjašnjenih matematičkih izazova, među koje je, svakako, uvršćena Poenkareova pretpostavka. Srećni dobitnik ne sme da bude stariji od 40 godina.

Grigorij Griša Pereljman je, po svemu sudeći, i to odbio, zbog čega na Zapadu ne prestaju da se iščuđuju.

Stanko Stojiljković
[objavljeno: 10.09.2006.] Politika

Darker:
   
Veliki doprinos geometriji

Poenkareova hipoteza odnosi se na jednu dosta očiglednu osobinu sfere. Naime, pretpostavimo da imamo elastičnu traku na sferi koja sadrži njen ekvator i uzmimo da traka klizi po sferi prema njenom polu, istovremeno se skupljajući bez kidanja. Vidimo da se traka na ovaj način na kraju skupila u jednu tačku.

Zamislimo isti eksperiment za torus, površ koja nastaje rotacijom kružnice u prostoru oko ose koja ne preseca tu kružnicu (na primer, đevrek ima oblik torusa). Ako je traka obmotana oko tela torusa i da bilo kako klizi po njegovoj površini, vidimo da se traka ne može skupiti u tačku. Imajući u vidu prethodne osobine sfere i torusa, kažemo da je sfera prosto povezana površ dok to torus nije.

Matematičari uvek vole da postavljaju obrnuta pitanja. U ovom slučaju pitanje je: Ako neka površ jeste prosto povezana, da li je ona u osnovi sfera? Rečeno matematičkim rečnikom: Da li je homeomorfna sferi? Na primer, elipsoid je homeomorfan sferi, jer se neprekidnom deformacijom može prevesti u sferu.

Za običnu, dvodimenzionalnu sferu pozitivan odgovor je dao već Poenkare 1904. Istovremeno je postavio pitanje da li slično tvrđenje važi i za trodimenzionalne sfere (3-D sfere), skup tačaka u četvorodimenzionalnom prostoru koji se nalazi na jediničnom rastojanju od centra – date tačke u tom prostoru. Trodimenzionalne sfere imaju analogne osobine običnoj sferi: na primer, kao što je svaki pravi presek obične sfere sa ravni kružnica, tako je presek trodimenzionalne s hiperravni (geometrijski objekat u četvorodimenzionalnom prostoru, analogon običnoj ravni) dvodimenziona sfera.

Pokazalo se da je to pitanje ekstremno teško i odolevalo je napadima velikog broja matematičara sve do Pereljmanovog rešenja. Ovde moramo spomenuti jedan čudan fenomen. Naime, Poenkareov problem ima očiglednu generalizaciju na proizvoljne konačne dimenzije. Očekivalo bi se da je na to pitanje u slučaju viših dimenzija teže odgovoriti. Ispostavilo se da nije tako.

Naime, šezdesetih godina prošlog veka Staling, Ziman i Smejl dokazali su da je Poenkareova hipoteza tačna za dimenzije sfere veće od 4. Tek dvadeset godina kasnije, M. H. Fridman je dokazao istinitost Poenkareove hipoteze i u slučaju 4-D sfera. Poenkareov problem je tipičan zadatak teorije topoloških prostora niske dimenzije i deo je šireg programa, opisa trodimenzionalnih površi (3-višestrukosti) u četvorodimenzionom prostoru.

Postavljena je pretpostavka (Terstonova hipoteza, izrečena sedamdesetih) da se svaka 3-višestrukost može dobiti na uniforman način od dvodimenzionih sfera i torusa, dakle geometrijskih objekata jednostavne prirode. Preciznije, da postoji tačno osam takvih prostopovezanih homogenih prostora koji imaju konačan volumen. Prvi od tih prostora je 3-D sfera i taj deo Terstonove hipoteze odnosi se na Poenkareov zadatak.

Grigorij Pereljman je dokazao tačnost Terstonove hipoteze, time i partikularnu, Poenkareovu hipotezu, i zato dobio Fildsovu medalju. Ovo rešenje predstavlja veliki doprinos boljem razumevanju strukture geometrijskih objekata, takođe se mogu očekivati primene u drugim naukama, na primer u teorijskoj fizici i kosmologiji.

prof. dr Žarko Mijajlović

* Profesor Matematičkog fakulteta u Beogradu


[objavljeno: 09.09.2006.] Politika

Za običnu, dvodimenzionalnu sferu pozitivan odgovor je dao već Poenkare 1904. Istovremeno je postavio pitanje da li slično tvrđenje važi i za trodimenzionalne sfere (3-D sfere), skup tačaka u četvorodimenzionalnom prostoru koji se nalazi na jediničnom rastojanju od centra – date tačke u tom prostoru. Trodimenzionalne sfere imaju analogne osobine običnoj sferi: na primer, kao što je svaki pravi presek obične sfere sa ravni kružnica, tako je presek trodimenzionalne s hiperravni (geometrijski objekat u četvorodimenzionalnom prostoru, analogon običnoj ravni) dvodimenziona sfera.

Senka jednog 4D tela ima 3 dimenzije.