Povratak kao u ogledalu
Dvojica matematičara odgonetnula tajnu čuvene Mebijusove trake kojom biste se, zbog uvijanja pod uglom od 180 stepeni i spajanja krajeva, uvek vratili na polazište kud god da krenete, ali sa suprotno ispruženom rukom. Za početak razgledajte malo crteže Maurica Ešera!

Isecite uzdužno (ili poprečno, svejedno) list hartije, uvrnite odrezak dopola (za 180 stepeni) i krajeve spojite (zalepite). I sada imate čuvenu traku smišljenu 1858. godine, a nazvanu prema nemačkom matematičaru Augustu Ferdinandu Mebijusu. Ne znajući za delo svojeg zemljaka, isto je otkrio drugi Nemac, Johan Benedikt Listing, i ostao takoreći nepoznat.

Dvojica naučnika sa Univerziteta Koledž u Londonu – Jevgenij Starostin i Gert fan der Hajden – upravo su obznanili da su razotkrili tajnu beskonačnosti, predstavljenu u trodimenzionalnom obliku (u matematici se obeležava znakom –  ).

Zamislite da je to uvijeni put kojim idete: svejedno je da li ste krenuli levo ili desno, uvek ćete stići na polazište. Kao kada biste se zaputili na put oko sveta prateći najduži uporednik na planeti – ekvator.

Najgušće na prevoju

Decenijama su se umetnici zabavljali, a naučnici upinjali da raspetljaju zagonetku svojevrsne beskonačne vrpce. Holanđanin Mauric Kornelis Ešer dobrim delom se proslavio utkavši zadivljujuće i zbunjujuće petlje u pojedine svoje crteže.

Pantljika je, matematički kazano, promenljiva površina jer je možete spljoštiti ili razvući u kružnicu, a da ona zadrži osnovno svojstvo tzv. savijene beskonačnosti. Zahvaljujući uskladištenoj gustini energije – što je posledica savijanja – Mebijusova traka sačuva izvesnu gipkost kao svaka opruga koja se, posle istezanja, vraća u pređašnje stanje. Mesta na kojima je najviše presavijena (prevoji) odlikuju se najjačom gipkošću (energija), nasuprot onima na kojima je najmanje savijena.

Tridesetih godina prošlog stoleća pojavili su se stručni članci nastojeći da pojavu objasne iako je – na prvi pogled – svako dete umelo da je načini, ali naučnici nisu znali da objasne kako takvi geometrijski oblici nastaju. Dvojica istraživača iz Velike Britanije (iz imena i prezimena se vidi da su poreklom iz drugih zemalja) najzad su rasvetlili višedecenijsku tajnu. U svojem poduhvatu iskoristili su dvadesetak godina stare, nepoznate jednačine, bez kojih ne bi to bili kadri da ostvare svoju zamisao.

I jasno se pokazalo da oblici traka zavise od dužine i širine izrezanih pravougaonika. Ukoliko se širina srazmerno povećava s dužinom, menja se gustina energije na presavijanjima, a prema tome i oblik. Upravo na tu zaboravljenu matematičku činjenicu, koju su uglavnom prenebregavali stručnjaci za mehaniku, skreće pažnju Jevgenij Starostin.

Kazaljka u dva smera

Obrazac (model) je, drugim rečima, primenljiv u svim slučajevima, piše ugledni naučni časopis „Priroda materijala” (Nature Materials). Jednačine moraju da važe za svaku priliku, čak i za ugljenikove nanocevčice koje se sastavljaju od veoma tankih dugačkih listića, naglašava matematičar Džon Madoks iz Saveznog instituta za tehnologiju u Lozani (Švajcarska).

Dotični pristup trebalo bi da utre put odgonetanju svakojakih bioloških molekula ili da objasni zašto se žice (kablovi) na stonom telefonu ili na slušalicama spojene sa muzičkim plejerom uvrnu na jednu ili drugu stranu.

Matematičari i umetnici su, svaki za sebe, igrajući se raznoraznim isečcima hartije, pokušavali da proniknu u suštinu Mebijusovih traka. Tako je švajcarski skulptor Maks Bil 1936. umislio da je dočarao „beskonačnu vrpcu” oblikujući plamene jezičke koji su se uzdizali iz vatre. Utrkivali su se arhitekte, pesnici, graditelji, inženjeri... Potonji su smišljali „beskrajne trake” koje su celom dužinom trpele isti pritisak, a to je značilo duže trajanje. Čak se poverovalo da će magnetofonske vrpce tako udvostručiti vreme obrtanja!

Jevgenij Starostin u svojim zamislima stremi kudikamo dalje: isto načelo je primenjivo na bokor zelene salate ili na hemijske prevlake. „Nadamo se da ćemo, najzad, shvatiti kako se i zašto tako presaviju i zgužvaju”, zaključuje on. „Zamislite samo koliko je u tom smislu raznorodno i složeno lišće pojedinih biljaka.”

U euklidovskom (geometrijskom) prostoru koji jedino opažamo pojavljuju se, u suštini, dve vrste Mebijusovih traka, zavisno od poluuvrtanja – u smeru kazaljke na satu i obratno. Otuda je ona kao vaša slika u ogledalu, sa suprotnim usmerenjem: ispalo bi da ste sebe sreli sa isturenom desnom rukom, iako ste na put pošli ispruživši levu da se sa nekim neznancem rukujete.

Stanko Stojiljković

Izvor: Politika

Zanimljivo nema sta!