Paradoks blizanaca

Paradoks blizanaca predstavlja pokušaj da se metodom svođenja na protivrečnost ospori pojava dilatacije (produženja) vremena iz Ajnštajnove Specijalne teorije relativnosti.

U skladu sa ovom pojavom, ritam rada standardnih merača vremena (časovnika) trebao bi da se usporava kada se oni nalaze u ravnomernom pravolinijskom kretanju, odnosno u odnosu na posmatrača koji njihovo kretanje posmatra iz nekog inercijalnog sistema referencije. Slično tome, vreme ili starenje jednog brata blizanca koji se nalazi na ultrabrzom kosmičkom putovanju (kreće se brzinom bliskom brzini svetlosti) trebalo bi da izgleda usporeno za njegovog brata blizanca koji je ostao na Zemlji. Samim time, "putujući" brat blizanac kada se sa svoga putovanja vrati na Zemlju trebalo bi da izgleda mnogo mlađi od drugog brata koji je ostao na zemlji, odnosno nije se kretao velikom-relativističkom brzinom. S druge strane, pošto je kretanje relativno, sasvim je ispravno reći da je brat koji je putovao po kosmosu u stvari mirovao, a da se drugi brat zajedno sa planetom Zemljom kretao u odnosu na njega velikom-relativističkom brzinom. U tom slučaju, iz istih, prethodno navedenih razloga, brat koji je sve vreme bio čvrsto vezan za Zemlju (ostao na Zemlji) treba da na završetku putovanja izgleda i da bude mlađi od svoga brata, što je u očiglednoj kontradikciji sa prethodnim zaključkom, i što čini suštinu ovog relativističkog paradoksa.


Raselov paradoks

Kantorova teorija skupova sa kraja 19. veka nije bila zasnovana aksiomatski pa se zato nazivala naivna teorija skupova. Međutim ona je implicitno u sebi sadržala nekoliko aksioma od kojih je jedna bila da za svako svojstvo možemo formirati skup svih elemenata koji imaju to svojstvo.

Polazeći od ove aksiome Bertran Rasel je 1903. konstruisao paradoks, po njemu nazvan Raselov paradoks koji je oborio naivnu teoriju skupova. Taj paradoks se može iskazati na više načina i u više formi a suština je sledeća:

Ako za svako svojstvo postoji skup svih objekata koji zadovoljavaju to svojstvo onda to isto važi i za svojstvo „skup ne pripada sam sebi“. Ovo svojstvo je vrlo prirodno jer je vrlo teško naći skup koji pripada sam sebi. Označimo sa X skup objekata za koje važi ovo svojstvo. Da li X pripada sam sebi? Ako pripada onda znači da zadovoljava svojstvo „skup ne pripada sam sebi“ što je kontradikcija. Ako pak ne pripada sam sebi onda će da zadovolji traženo svojstvo pa će baš da pripada sebi, što je opet kontradikcija.

Do pojave ovog paradoksa verovalo se u nepobitnost matematičke istine i neprotivurečnost Kantorove teorije skupova. Posle Raselovog paradoksa usledila je i serija drugih paradoksa od kojih posebno izdvajamo Rišarov paradoks. Njihovom pojavom matematička građevina je bila ozbiljno uzdrmana do samih temelja i pretila je opasnost da se sruši. Kriza matematike je rešavana pojavom novih pravaca (Rasel - logicizam, Brauer - intuicionalizam, Hilbert - formalizam).

Jedna varijanta iskazivanja Raselovog paradoksa je: Postoje katalozi knjiga iz biblioteke. Ti katalozi se takođe smatraju za knjige. Neki katalozi sadrže sebe, a neki ne (u katalogu). Možemo posmatrati jedan novi katalog u koji su popisani svi katalozi koji ne sadrže sebe. Da li ovaj katalog sadrži sam sebe? Ponovo će oba slučaja analiziranja dovesti do kontradikcije.

Jedno od mogućih prevazilaženja Raselovog paradoksa je da se skup svih skupova ne smatra za skup, nego za klasu (klasa je ovde uopštenje pojma skupa).


Rišarov paradoks

Rišarov paradoks je nastao 1905. godine i dobio je ime po svom tvorcu matematičaru Rišaru.

Posmatrajmo skup prirodnih brojeva i na njemu sve osobine dužine jedan. Ove osobine zatim poređamo u jedan niz i numerišemo ih, npr. ovako:
broj je deljiv sa 2
broj je prost
broj je jednak 5
broj je kvadrat prostog broja
broj je deljiv sa 5
...

Primetimo da u nekim slučajevima broj ima svojstvo koje kodira, a u nekim slučajevima nema. Zato uvedimo definiciju: Broj je Rišarov ako nema svojstvo koje kodira. Vidimo da u gornjem primeru brojevi 2, 4, 5 jesu Rišarovi, a 1 i 3 nisu.

Osobina broj je Rišarov je takođe jedna osobina dužine jedan na skupu prirodnih brojeva pa će se i ona naći u ovom nizu osobina pod nekim brojem, neka je to broj m. Da li je broj Rišarov? Ako jeste, onda nema svojstvo koje kodira, a to znači da nije Rišarov broj, što je paradoks. Ako broj nije Rišarov onda nema svojstvo koje kodira što po definiciji znači da jeste Rišarov, pa je i ovo nemoguće.

Rišarov paradoks je tesno povezan sa Raselovim paradoksom i sa drugim paradoksima koji su se javljali početkom 20. veka u naivnoj teoriji skupova matematičara Kantora. Ovi paradoksi su ozbiljno poljuljali temelje tadašnje matematičke nauke.

Izvor: Wikipedia