Šta je matematika?

Šta je matematika? Kad biste ovo pitanje postavili prvoj osobi na koju naiđete, odgovor bi najverovatnije glasio: ,,Matematika proučava brojeve." Ako biste insistirali da vaš sagovornik bude određeniji, možda biste izmamili objašnjenje da je matematika „nauka o brojevima". Dalje od ovoga ne biste stigli, iako to nije odgovarajući opis matematike. Prevaziđen je već 2500 godina! Odgovor na pitanje „Šta je matematika?" menjao se nekoliko puta od tada.

Oko petstote godine pre nove ere, matematika se zaista bavila brojevima. Drevna egipatska, vavilonska i kineska matematika sastojala se gotovo isključivo od aritmetike. Bila je veoma praktična i veoma je podsećala na kuvar. («Uradite to i to broju i dobićete rešenje.") Između petstote godine pre nove ere i tristote godine nove ere, matematika je prevazišla proučavanje brojeva. Starogrčke matematičare više je zanimala geometrija. Oni su, u stvari, proučavali brojeve na geometrijski način, kao mere za dužinu, i kada su otkrili da postoje dužine kojima ne odgovaraju njihovi brojevi (takozvane iracionalne dužine), njihovo proučavanje brojeva bilo je obustavljeno. Pošto su se Grci posebno interesovali za geometriju, matematika je za njih bila nauka o brojevima i obliku.

Grci su matematiku od skupa metoda za merenje, brojanje i računanje, pretvorili u akademsku disciplinu sa estetskim i religioznim elementima. Na početku starogrčkog razdoblja, Tales je uveo ideju da se precizno formulisana matematička tvrđenja mogu logički dokazati pomoću formalnih rasuđivanja. Kod Grka je ovaj pristup dostigao vrhunac oko 350. godine pre nove ere, kad su objavljeni Euklidovi „Elementi" u trinaest tomova, koji su, posle Biblije, najčitanija knjiga svih vremena.

Iako se posle Grka matematika razvijala u više krajeva sveta - posebno u Arabiji i Kini - njena priroda nije se menjala sve do sredine sedamnaestog veka, kada su Isak Njutn (Isaac Newton) u Engleskoj i Gotfrid Vilhelm Lajbnic (Gottfried Wilhelm Leibniz) u Nemačkoj, nezavisno jedan od drugog, izumeli diferencijalni i integralni račun. U osnovi, diferencijalni i integralni račun proučava pokret i promenu.

Pre toga, matematika je uglavnom bila ograničena na razmatranje statičkih pitanja - brojanja, merenja i opisivanja oblika. Nove tehnike za proučavanje kretanja i promene omogućile su matematičarima da istražuju kretanje planeta i gravitaciju, rad mašina, protok tečnosti, širenje gasova, fizičke sile, kao što su magnetna i električna, letenje, rast biljaka i životinja, širenje epidemija i protok profita.

Matematika je postala nauka koja proučava broj, oblik, kretanje, promenu i prostor.

U početku je diferencijalni i integralni račun uglavnom korišćen za proučavanje fizike, i većina matematičara sedamnaestog i osamnaestog veka bili su i fizičari. Ali, od 1750, kada su matematičari poželeli da otkriju šta se krije iza ogromne moći diferencijalnog i integralnog računa, poraslo je interesovanje za teorijsku matematiku, a ne samo za njenu upotrebu. Krajem devetnaestog veka, matematika je proučavala broj, oblik, kretanje, promenu, prostor i matematička oruđa koja se koriste pri ovim proučavanjima. Ovo je bio početak moderne matematike.

Porast matematičke aktivnosti u ovom veku najbolje se može opisati kao eksplozija znanja. Do 1900. godine, celokupno matematičko znanje moglo je stati u osam knjiga. Danas bi za to bilo potrebno oko 100.000 knjiga. Nisu samo nastavile da se razvijaju poznate grane, kao što su geometrija i diferencijalni i integralni račun, već je niklo i mnogo novih.

Na početku veka, matematika se sastojala od oko dvanaest oblasti: aritmetike, geometrije, diferencijalnog i integralnog računa i tako dalje. Danas postoji između šezdeset i sedamdeset različitih oblasti. Neke od njih, na primer algebra i topologija, podelile su se na podvrste; druge, kao što su teorija kompleksnosti ili teorija dinamičkih sistema, potpuno su nove.

Nauka koja proučava zakonitosti

S obzirom na ovoliku raznolikost, kako današnji matematičari odgovaraju na pitanje: „Šta je matematika?" Najčešći odgovor glasi da je matematika nauka koja proučava zakonitosti. Zakonitosti koje proučavaju matematičari mogu biti realne ili imaginarne, vizuelne ili mentalne, statične ili dinamične, kvalitativne ili kvantitativne, korisne ili rekreativne.

One potiču iz sveta koji nas okružuje, iz dubina prostora i vremena i iz ljudskog uma. Različite matematičke grane izučavaju različite vrste zakonitosti. Na primer, teorija brojeva proučava (a aritmetika koristi) zakonitosti koje važe među brojevima i u računanju; geometrija proučava zakonitosti vezane za oblik; diferencijalni i integralni račun omogućava nam da savladamo zakonitosti koje važe za kretanje; logika izučava zakonitosti u rasuđivanju; teorija verovatnoće bavi se zakonima slučajnosti; topologija proučava zakone razdaljine i pozicije.

Pošto su ove zakonitosti, najvećim delom, veoma apstraktne, njihov opis i proučavanje zahtevaju apstraktnu notaciju. Na primer, simboli koji se koriste u algebri najpodesnija su sredstva za opisivanje opštih zakona sabiranja i množenja. Komutativni zakon sabiranja može se zapisati pomoću jezika:

Kada se promene mesta sabiraka, zbir ostaje isti.

Ipak, mnogo je jednostavnije napisati: m + n = n + m

Složenost i apstraktnost većine matematičkih zakonitosti čini sve, sem simboličkog označavanja, suviše komplikovanim za upotrebu.

Algebarske oznake u matematici verovatno je prvi koristio Diofant, koji je živeo u Aleksandriji oko 250. godine nove ere. U svojoj raspravi „Aritmetika", koja se smatra prvim „udžbenikom iz algebre", Diofant je koristio posebne simbole za obeležavanje nepoznate u jednačini i njeno stepenovanje, kao i simbole za oduzimanje i jednakost.

Savremene matematičke knjige prepune su simbola, međutim, matematičke oznake su matematika onoliko koliko su muzičke note muzika. Papir s notama predstavlja muzičko delo, ali note i muzika nisu isto; muzika se dobija kada se note s papira otpevaju ili odsviraju na muzičkom instrumentu. Ono što oživljava muziku jeste njeno izvođenje; ona ne postoji na papiru, već u našim mislima. Isto je s matematikom. Kada ih čita kompetentni izvodač (neko ko se razume u matematiku), simboli na papiru oživljavaju - matematika živi i diše kao neka apstraktna simfonija u čitaočevom umu.

Iako samo neko ko se dobro razume u muziku ume da čita note i čuje muziku u svojoj glavi, za uživanje u muzici nije potrebna vežba. Ali, jedini način da razumemo matematiku jeste da naučimo kako se „čitaju" simboli. Mada struktura i zakonitosti matematike odjekuju u ljudskom umu kao i struktura i zakonitosti muzike, ljudska bića ne poseduju matematički ekvivalent za uši. Matematika se može „videti" samo „očima uma". To je kao kad bismo muzičke oblike i harmonije mogli shvatiti samo čitanjem nota.

Mnogim ljudima su apstraktne matematičke oznake zastrašujuća prepreka u razumevanju matematike. (Kaže se da svaka jednačina koju autor pomene u naučnopopularnoj knjizi prepolovljava njenu prodaju.) Ali, bez algebarskih simbola veći deo matematike ne bi ni postojao.

Ova problematika je duboka i ima veze sa ljudskom saznajnom sposobnošću. Prepoznavanje apstraktnog pojma i razvijanje odgovarajućeg jezika predstavljaju dve strane istog novčića. Korišćenje simbola kao što su slovo, reč ili slika, da bi se označio apstraktni entitet, podrazumeva prepoznavanje tog entiteta. Da bismo upotrebili cifru 7 za obeležavanje broja 7, moramo prepoznati broj 7 kao entitet; da bismo upotrebili slovo m za obeležavanje proizvoljnog celog broja, moramo poznavati pojam celog broja. Simboli nam omogućavaju da razmišljamo o pojmovima i manipulišemo njima.

Šta je potrebno za stvaranje matematičkog uma?

Mnogobrojne mentalne osobine utiču na sposobnost za bavljenje matematikom (od kojih mnoge zavise jedne od drugih). One se kombinuju na različite načine.

Osećaj za broj. ~ Ljudi, kao i još nekoliko drugih vrsta, poseduju osećaj za brojnost. Mi prepoznajemo razliku između jednog predmeta, grupe od dva predmeta i grupe od tri predmeta. Takođe, uviđamo da grupa od tri predmeta ima više članova nego grupa od dva predmeta. Ovaj osećaj nije nešto što smo naučili; s njim smo rođeni.

Sposobnost brojanja. - Osećaj za broj, sposobnost da se razlikuju i upoređuju mali skupovi, ne zahteva poznavanje pojma broja kao apstraktnog entiteta, niti umeće brojanja. Brojevi i brojanje se uče (iako postoje neki dokazi da je brojanje u osnovi instinktivno). Uz odreden napor, šimpanze i čovekoliki majmuni mogu naučiti da broje do 10. Ali, koliko je poznato, samo su ljudi sposobni da nastave brojanje u beskonačnost i izbroje proizvoljno velike grupe predmeta.

Sposobnost za upotrebu algoritma. - Algoritam je utvrđeni niz koraka koji vodi do određenog cilja - matematički ekvivalent za recept za kolač. Bavljenje aritmetikom zahteva sposobnost da se nauče različiti nizovi operacija sa brojevima. Druge matematičke oblasti zahtevaju primenu algoritama na druge vrste entiteta. Na primer, rešavanje kvadratne jednačine podrazumeva upotrebu algoritma algebarskih operacija.

Ove tri osobine najviše doprinose sposobnosti za bavljenje aritmetikom. Ipak, osobe koje su dobre u aritmetici često koriste i dodatne osobine.

Sve ostale osobine u manjoj ili većoj meri doprinose matematičkoj sposobnosti (kao nečemu što je različito od sposobnosti za aritmetiku).

Sposobnost apstrakcije. - Ograničena mogućnost apstrakcije predstavlja najveću prepreku za bavljenje matematikom. Opet, mozak je tu sposobnost stekao istovremeno kad i sposobnost za jezik, koju svako poseduje. Stoga, razlog zbog kog mnogi ljudi imaju problema s matematikom nije nedostatak sposobnosti, već to što ne umeju da je primene na matematičku apstrakciju.

Osećaj za uzrok i posledicu. - Kao i mnoge druge vrste, ljudi su ovaj osećaj stekli veoma rano. Njegova važnost za opstanak je očigledna.

Sposobnost obrazovanja i praćenja kauzalnog lanca činjenica ili događaja. - Sposobnost da obrazuju i prate veoma duge kauzalne lance jedinstvena je za ljude. Naši preci usvojili su ovu sposobnost istovremeno sa jezikom. Dokaz (teoreme) koji matematičar izvodi jeste visoko apstraktna verzija uzročnog lanca činjenica.

Sposobnost logičkog rasuđivanja. - Ovo je sposobnost obrazovanja i praćenja postupnog logičkog dokaza. U bliskoj je vezi sa prethodno navedenom sposobnošću, i od ključne je važnosti za matematiku.

Sposobnost rasuđivanja o vezama. - Veliki deo matematike bavi se vezama između (apstraktnih) objekata. Sposobnost rasuđivanja o vezama između matematičkih objekata ne razlikuje se od rasuđivanja o vezama između materijalnih objekata ili o međuljudskim vezama. S obzirom na to da se najveći broj nas svakodnevno upušta u ovakva rasuđivanja, ponovo se postavlja pitanje zašto tolikom broju ljudi predstavlja problem da rasuđuje o matematičkim objektima.

Sposobnost rezonovanja o prostoru. - Sposobnost rezonovanja o prostoru kod mnogih vrsta je od ključne važnosti za opstanak. Ova sposobnost, koja pruža osnovu za shvatanje geometrije, može se koristiti i za rasuđivanje o oblastima za koje prostor, na prvi pogled, nije od velike važnosti. U stvari, veliki broj važnih otkrića više matematike potiče od toga što su matematičari pronašli neobične načine posmatranja problema, uzimajući u obzir prostor. (Dokaz Fermijeve poslednje teoreme iz 1994. izveden je na ovaj način.)

Ovo su, znači, mentalne sposobnosti čija nam kombinacija omogućava da se bavimo matematikom. Naše traganje za poreklom matematičke sposobnosti svodi se u velikoj meri na ispitivanje porekla svake od ovih sposobnosti. Okvir za tu potragu jeste ljudska evolucija. Svaka od navedenih sposobnosti troši energiju mozga. (Neke odnose i druge gubitke.) Stoga one moraju da pruže neku prednost za opstanak i tako nadoknade trošak. U nekim slučajevima - na primer, kod rezonovanja o prostoru ili kod osećaja za uzrok i posledicu - dobit je očigledna. Ostali slučajevi zahtevaju dublju analizu. (domatrios)
Literatura:

Kit Devlin: Matematički gen