Veze ti nemaš...

Nisam siguran da se sve može naći na netu, ali tačno je da je svo znanje ovog sveta u knjigama. Problem je samo što TI nisi te knjige pročitao, ne znaš i ne razumeš skoro ništa od toga, a pričaš o tome

Kao što rekoh, veze ti nemaš. Hajde, pošto sam dao rešenje za ono najprostije, Ψ(x), da ne ostanem dužan ni za ovo drugo, G(E), da ne misle ljudi da sam isti kao ti. Kao prvo, iz poč. uslova A*sin(k*a)=0 sledi k*a=n*pi, a odatle k=n*pi/a. Korak između dva uzastopna stanja je zato: ∆k=k_n+1-k_n=pi/a. Već sam rekao da je N_k=dk/∆k=dk/(pi/a) koristeći ovo ∆k. Sada imamo (na osnovu mog ranijeg posta):
N_k=dk/(pi/a)=G(k)dk i odavde se vidi da je gustina stanja u k-prostoru G(k)=a/pi.
U ranijem postu sam takođe napisao i da je G(k)dk=G(E)dE pa je odatle: G(E)=G(k)*dk/dE=G(k)(dE/dk)^-1. Treba još samo naći dE/dk.
Pošto je k talasni broj, E=ħ²k²/(2m), dobija se: dE/dk=(ħ²/(2m))*2k. Ovde se uvrsti k=√(2mE)/ħ i ostaje:
dE/dk=(ħ²/m)*√(2m/ħ²)*E^1/2. Pošto sada imamo i G(k) i dE/dk, samo uvrstimo i dobija se traženo:
G(E)=(a/pi)*(m^1/2/(ħ√2))*E^-1/2.

sjajno napisano reshenje (ili prepisano npr odavde  : http://www.ecse.rpi.edu/~schubert/Course-ECSE-6968%20Quantum%20mechanics/Ch12%20Density%20of%20states.pdf ) .

samo , opet je pod falinku  . naime , ti si pretpostavio da je  k=√(2mE)/ħ odnosno da cestica ima masu (tj da je elektron)  i da mu je stoga sva energija kinetichka . a shta ako je navedeno telo foton ? 

podecam da je relativistichki E2 = p2c2 + m2c4 (brojeve razumeti tako da stavljaju na stepen ) , odnosno da za foton vazi :

Zahvaljujem. Da li je prepisano ili nije, potpuno je nebitno, važno je da ga ja razumem. To da svaki put svaku sitnicu moraš iznova da računaš, to prestaje kad završiš studije. Na kraju čak više i ne rešavaš niti gledaš jednačine, već koristiš specijalizovane softverske pakete kao što je COMSOL i to samo za približne simulacije. U konkretnom slučaju ovog zadatka, svaka pojedinačna operacija je objašnjena, tako da se vidi da mi je jasno odakle je šta dobijeno. A izvođenje sam prepisao iz neke svoje stare sveske, ne sećam se ni zašto sam tada računao G(E) ... nije to dakle ni bio "zadatak" već je približno izračunato G(E) za 10 nm Silicijum

Tako je, to je materijalna čestica (to sam i napomenuo, nekoliko puta). Nije to, dakle, falinka, već je slučaj materijalne čestice. Sve vreme imam u vidu model jednog realnog sistema (pomenuta stara sveska), dakle recimo elektrona u poluprovodniku, za koji je ovaj proračun sasvim dovoljan. Pretpostavio sam i druge stvari, npr. nulti potencijal u jami (U=0). Može se proračun uvek dodatno usložnjavati, ali je uvek cilj izbeći svaku nepotrebnu komplikaciju. Da je u pitanju foton, jednačine bi bile drugačijeg oblika, bilo bi k=E/(ħ*c) i sl. Glavno pitanje je koji realan fizički sistem bi ti time hteo da modeluješ? Od toga zavisi koje pretpostavke bi se mogle uvesti i koristiti da bi se pojednostavio model i sveo na nešto izračunljivo.

Verovatno najveći problem bi bio u tome što model takvog sistema onda i ne bi bila standardna Šredingerova jednačina. Naime, Šredinger koristi Hamiltonijan u obliku H=T+U, dakle kao sumu kinetičke i potencijalne energije. Ako nema ni jedne ni druge, onda ova, više ne bi imala oblik operatora T=p²/2m, odakle se inače dobija prepoznatljiv oblik Hamiltonijana u Šredingerovoj j-ni:



(Šredinger je zamenio p sa -iħ∇). To je sve u redu, dok god se koristi za rešavanje nekog realnog fizičkog sistema. Vraćamo se, dakle, na pitanje: koji je to realan fizički sistem i sa kakvim pretpostavkama se u rešavanje modela može ući?

BTW, primećujem da su ti komentari malo više smisleni nego ranije. Izgleda da si nešto malo ipak naučio, što je ispalo kao "kolateralna šteta" ove diskusije. Drago mi je što te je sujeta naterala da bar malo pogledaš stvarne kvantne mehanike

pre svega , reci da je cestica materijalna ne znachi nishta . i foton je materijalna cestica  . drugo , gustina stanja za fotone se takodje lako racuna (ovde izracunata za 3D ) : http://finestructure.org/documents/Photon%20Density%20of%20States.pdf . trece i najvaznije , ako vec koristish psi funkciju (pretpostavljash cesticu u talasnom obliku) , onda je sasvim gruba aproksimacija da je u analizi raspodele energije svedesh samo na korposkularnu prirodu i kinetichku energiju .

 ova tema se zasniva upravo na pretpostavci da cestice imaju i talasnu priropdu i da je moguce da se nadju i tamo gde ne bi trebalo da budu (tunel-efekat) upravo zato shto ne postoje beskonachne jame .

Požurio si sa odgovorom, ja sam tek editovao svoj. E pa nije baš svejedno da li je materijalna čestica ili nije, iz brojnih razloga, npr. oblika k. Za foton (EM talas) važi k=E/(ħ*c), dok za materijalnu česticu (pri nerelativističkim brzinama) važi k=√(2mE)/ħ. Odatle se menja i dE/dk itd. Aproksimacija koju sam koristio, uobičajena je i nisam je sam smislio. Kinetička energija, kako sam već objasnio, Šredingerova je ideja. "Beskonačna" je, po pravilu, aproksimacija za "dovoljno duboka" i ta aproksimacija je skoro uvek dovoljno dobra...

Drago mi je što sve više čitaš o kvantnoj, na kraju ćeš stvarno postati sručnjak za nju! Međutim, pravo pitanje je, da li ti zapravo razumeš korake koji su sprovedeni u analizi čiji si link postavio. Kada sam ja uzeo svoju svesku i prepisao izvođenje G(E), ja sam se setio šta koji korak znači. A da li ti razumeš korake u izvođenju koje si dao i ograničenja pri kojima važi? Na primer "The volume is assumed to be large enough so that its dimensions have no significant effect on the physical result". Onda, šta znači "Gauss' law for the electric field in free space reduces to ∇E=0"? Šta je Gauss' law for the electric field, i zašto je ∇E=0? Šta znači "Each set of  integers (n_x,n_y,n_z) corresponds to two modes of the electromagnetic field, one for each polarization"? Ova dva moda dolaze od zaključka "This transverse condition allows for two independent wave polarizations for each value of k." Zašto dva?

Ja sam tebi namerno dao najprostiji proračun, jer se tu vidi da li neko razume materiju ili ne. Ako pažljivije pogledaš, u mom primeru G(E) je matematika na srednjoškolskom nivou. U tvom primeru to nije slučaj (pominju se Fourier, modovi, funkcije razvoja, operator ∇...).
=========================================
EDIT: Evo, ne bih lenj, sad kad si jasno definisao problem, da ga rešim sam, na način kako je rešavan i onaj moj primer jednodimenzionalnog G(E). Znači sada hoćeš foton u kocki širine L, praznog prostora. Kao i pre, polazi se od talasne jednačine (ali opšte talasne, ne više Šredingerove) i to za električno polje, i to ovoga puta zavisne od vremena, i to za tri dimenzije. Ta jednačina glasi: ∇²E=c^-2*∂²E/∂t². Njeno opšte rešenje je (analogno 1D slučaju):
E=A*sin(n_x*pi*x/L)*sin(n_y*pi*y/L)*sin(n_z*pi*z/L)*sin(ωt).
Kao i pre, u 1D slučaju, i ovde treba zadovoljiti iste granične uslove, dakle obezbediti E=0 u tačkama x=0, y=0, z=0, x=L, y=L, z=L. Potpuno istom logikom kao i kod 1D slučaja, primenjenom na svaku od koordinata zasebno, dobija se:
(n_x*pi/L)²+(n_y*pi/L)²+(n_z*pi/L)²=(n_x²+n_y²+n_z²)*(pi/L)²=(ω/c)²=(2*pi/λ)². Ovde ω² potiče od drugog izvoda sin(ωt) po t. Kada se ovo sredi, ostaje:
n²=n_x²+n_y²+n_z²=4*(L/λ)².
Ovde sam uveo n, da bih manje pisao; to je magnituda vektora (n_x,n_y,n_z) u n-prostoru. Sada ću samo da prebrojim stanja, kao i u 1D-slučaju... Kako su n_x,n_y,n_z pozitivni, n je uvek u prvom oktantu, pa se ukupan broj stanja dobija deljenjem sa 8, ali mora i da se pomnoži sa 2 jer je za svaki vektor (n_x,n_y,n_z) moguća jedna od dve polarizacije (to imaš i u onom tvom izvođenju). Ostaje samo da se pomnoži sa zapreminom sfere u n-prostoru, a to je (4/3)*pi*n³. Dobija se, dakle:
N=(2/8)*(4/3)*pi*n³. Od malopre imam n=2L/λ, pa ću to iskoristiti da, zamenom n, dobijem:
N=(2/8)*(4/3)*pi*n³=(2/8)*(4/3)*pi*(2L/λ)³. Pošto me interesuje energetska gustina stanja, uvešću E=hc/λ tako što ću zameniti λ i onda mi ostaje da je broj stanja po jedinici zapremine:
N_v=N/L³=(8*pi*E³)/(3*h³*c³). Da bih dobio g(E) kao u tvom primeru, tražim izvod ove f-je po E i dobija se:
g(E)=dN_v/dE=8*pi*E²/(hc)³=8*pi*E²/(c³*(2*pi*ħ))³=E²/(ħ³*pi²*c³). ##

Gotovo! Još da uporedim sa onim rezultatom iz tvog dokumenta. Tamo nisu dali konačnu formulu za g(E), ali se ona lako dobija:
g(E)=g(ω)/ħ=ω²/(ħ*pi²*c³). Ovde uvrstim ω²=E²/ħ² i dobija se:
g(E)=E²/(ħ³*pi²*c³). Gle čuda, pa ovo što sam izračunao (na onaj isti način kao za 1D slučaj iz mog primera i ponovo bez muljanja sa kompleksnim brojevima) je isto ono što si ti našao na internetu, a kod mene se još i lepo vidi talasna jednačina i odakle njeno rešenje...
disclaimer: ako sam negde pogrešio u kucanju, to je bilo u prepisivanju sa papira na kome sam računao, dakle, ako i postoji greška u prekucavanju, lako se uočava i ne utiče na rezultat.
comment: auh, ala je nepregledan ovaj interfejs, teže mi pade i više mi vremena pojede ovo prekucavanje nego samo rešavanje...

... ako slucajno nadjes, baci je ovde ... YT sam prekopao, ali izgleda da je naziv na Ruskom , a ja i Ruski ...

  foton jeste materijalna cestica . ti si naveo dva specijalna sluchaja rachunanja k - u sluchaju fotona se on rachuna prema faznoj brzini (brzina svetlosti) , u sluchaju elektrona prema tzv grupnoj  brzini . kod fotona se zbog nedostatka mase dobija egzaktna jednacina E=h*f iz koje posle izlazi k=E/(ħ*c) i dalje se reshava primenom gausovog zakona gde se u obzir uzima da nema statichkog naelektrisanja pa je zato ∇E=0 ,a  polarizacija  moze da bude samo u preostale dve ose normalne na pravac prostiranja talasa .

medjutim , druga jednachina je fundamentalno netachna (odnsosno aproksimativna ) jer polazi od p=ћ*k , a to je  u stvari debroglijeva relacija p=h*L  (L-talasna duzina lammbda ) koja se opet izvodi pomocu chuvene ajnshtajnove E = mc2 :

http://www.tutorvista.com/content/chemistry/chemistry-iv/stereochemistry/isomerism-types.php

to opet ne bi bilo strashno (mada si sam iskljucio relativistichku komponentu iz jednachine za elektron ) , da spomenuta ajnshtajnova relacija jednostavno nije u skladu sa premisom da foton nema masu . naime , razna izvodjenja ove jednachine :

http://www.adamauton.com/warp/emc2.html
https://secure.wikimedia.org/wikipedia/en/wiki/Mass%E2%80%93energy_equivalence

pa chak i sam ajnshtajnov originalni papir :
http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/e_mc2.pdf

implicitno ili ekspilicitno formulishu cinjenicu da se radi o telu koje ima masu mirovanja u relativistichkom smislu (a foton je naravno nema jer i ne moze da miruje  ) .

tu onda dolazi do jednog od tih chuvenih neslaganja kvantne fizike i teorije relativiteta ,ali o tome mozda drugi put ...