O Fermeu: http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat 

O teoremi: 
Fermaova poslednja teorema (poznata i kao Fermaova velika teorema) je jedna od najpoznatijih teorema u istoriji matematike. Ona tvrdi da:

    Ne postoje pozitivni celi brojevi a, b, i c takvi da a^n + b^n = c^n \; gde je n prirodan broj veći od 2.

Пјер де ФермаPjer de Ferma

Matematičar iz 17. veka Pjer de Ferma je pisao o ovoj teoremi 1637. godine u svojoj kopiji Klod-Gaspar Bašetovog prevoda poznate Diofantove Aritmetike: "Otkrio sam zaista neverovatan dokaz ove teoreme koji ne može da stane na marginu ove strane". (Original latinski: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.") Bez obzira na to, nijedan korektan dokaz nije pronađen sledećih 357 godina.

Ova tvrdnja je značajna jer su sve druge Fermaove teoreme bile utemeljene, bilo pomoću dokaza koje je on dao, ili pomoću dokaza koji su pronađeni kasnije. Teorema nije poslednja koju je Ferma dao, nego poslednja koja treba biti dokazana. Teorema se uopšteno smatra matematičkom postavkom koja je isprovocirala najveći broj netačnih matematičkih dokaza.


Matematički kontekst

Poslednja Fermaova teorema je generalizacija Diofantinove jednačine a2 + b2 = c2, koja je povezana sa Pitagorinom teoremom. Stari Grci i Vavilonci su znali da ova jednačina ima rešenja, kao što su (3,4,5) (32 + 42 = 52) ili (5,12,13). Ova rešenja su poznata kao Pitagorine trojke.

Dok teorema sama po sebi nema direktnu upotrebu (ne koristi se kao dokaz ni u jednoj drugoj teoremi), pokazano je da je povezana sa drugim matematičkim temama.

Rana istorija

Teoremu treba dokazati za n=4 i za slučaj kada je n prost broj. Dokazano je još davno da teorema važi za neke specijalne slučajeve n, ali opšti slučaj je ostao nedokučiv.

Sam Ferma je dokazao slučaj n=4, dok je Ojler dokazao teoremu za n=3. Slučaj n=5 su dokazali Dirihle i Ležandr 1825. godine, a slučaj n=7 Gabrijel Lame 1839. godine.

Gerd Faltings je 1983. godine dokazao Mordelovu pretpostavku da za svako n > 2 postoji konačno mnogo uzajamno prostih brojeva a, b i c takvih da važi an + bn = cn.

Dokaz
Koristeći sofisticirane alate algebarske geometrije (posebno eliptične krive i modularne forme), teoriju Galoa i Heke algebre, engleski matematičar Endru Vajls (Andrew Wiles), sa Univerziteta Prinston, uz pomoć svog bivšeg studenta Ričarda Tejlora, izveo dokaz Fermaove poslednje teoreme i objavio je 1995. godine u časopisu Annals of Mathematics

Ken Ribet je 1986. godine dokazao Gerhard Frejevu epsilon pretpostavku da svaki kontraprimer an + bn = cn poslednjoj Fermaovoj teoremi vodi ka eliptičnoj krivoj definisanoj sa:
y^2 = x \cdot (x - a^n) \cdot (x + b^n),

što daje kontraprimer pretpostavci Tanijama-Šimura.

Poslednja pretpostavka nudi duboku vezu između eliptičnih krivih i modularnih formi.

Vajls i Tejlor su uspeli da dokažu jedan poseban slučaj Tanijama-Šimura pretpostavke dovoljan da isključi takve kontraprimere koji nastaju iz Fermaove poslednje teoreme.

Priča o dokazu je zanimljiva koliko i misterija koja prati samu teoremu. Vajls je proveo sedam godina razrađujući sve detalje samostalno u apsolutnoj tajnosti (sem završne faze pregleda za šta je zamolio pomoć Nika Kaca, kolege sa Prinstona). Kada je objavio dokaz na tri predavanja održanim na Kembridžu 21-23 juna 1993. godine, zapanjio je slušaoce brojem ideja i konstrukcija u svom dokazu. Nažalost, detaljnijom proverom je pronađena ozbiljna greška koja je oborila prvobitan dokaz. Vajls i Tejlor su potom proveli godinu dana u traženju novog puta ka dokazu. Septembra 1994. je dokaz ponovo objavljen sa donekle izmenjenim tehnikama u odnosu na one koje je Vajls koristio u prvom pokušaju.

Da li je Ferma zaista imao dokaz?

Citat na latinskom:

    Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratorum in duos quadratoquadratos,
    et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum patestatem in duos euisdem
    nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.
    Hanc marginis exigitas non caperet.

    (Nemoguće je razdvojiti kub na dva kuba, ili
    četvrti stepen na dva četvrta stepena, ili uopšteno,
    bilo koji stepen veći od dva na ista takva dva.
    Otkrih uistinu predivan dokaz ovoga,
    no ne nađoh na margini mesta, te ga ne napisah ovde. )

Postoje značajne sumnje u Fermaovu izjavu "Otkrih uistinu predivan dokaz". Vajlsov dokaz je dugačak 200 strana i njegovo razumevanje zahteva znanja van domašaja mnogih matematičara danas. Moguće je da postoji dokaz koji je značajno kraći i koristi elementarnije metode. Obično prvi dokazi nisu ni najkraći ni najdirektniji.

Metode koje je Vajls koristio su bile nepoznate u Fermaovo vreme, i mnogi veruju da je malo verovatno da je Ferma uspeo da izvede sve neophodne preduslove za izvođenje dotičnog dokaza. Prema rečima Endrua Vajlsa: "To je nemoguće, ovo je dokaz 20. veka". Alternativa je da postoji jednostavniji dokaz koji su svi matematičari do sada prevideli ili je Ferma pogrešio.

Pretpostavlja se da je Ferma izveo pogrešan, ali naizgled prihvatljiv, dokaz. Izveden je iz pogrešne pretpostavke da postoji jedinstvena faktorizacija u svim prstenovima sa prirodnim brojevima u poljima algebarskih brojeva. Ovo je prihvatljivo objašnjenje za mnoge stručnjake u teoriji brojeva, na temelju toga što su i mnogi izuzetni matematičari iz ove oblasti sledili sličan put.

Činjenica da Ferma nikad nije objavio ovaj dokaz, niti javno objavio da ga ima, navodi da je kasnije razmislio i jednostavno zanemario ličnu belešku na marginama knjige. Kasnije, tokom života, Ferma je objavio dokaz za slučaj

    a4 + b4 = c4.

Da je stvarno došao do dokaza za opštu teoremu, malo je verovatno da bi objavljivao dokaz samo za poseban slučaj. Mada, akademske konvencije njegovog doba nisu iste kao i one posle polovine 18. stoleća. Stoga se ovaj argument ne može uzeti kao konačan.

Fermaova poslednja teorema u fikciji
U epizodi "The Royale", serijala Zvezdane staze: Sledeća generacija, kapetan Pikard navodi da teorema nije rešena 800 godina. Vajls je objavio dokaz pet godina po emitovanju ove epizode. Potom je u drugom serijalu Zvezdane staze: Duboki svemir Devet u epizodi Facets iz juna 1995. godine lik Džadzia Daks komentariše da je nešto najoriginalniji pristup dokazivanju još od Vajlsa, pre 300 godina. To fanovi shvataju kao tananu ispravku prethodnoj omaški.

* Postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva a, b, i c takvih da je a^n + b^n = c^{n+1} \; gde je n prirodan broj.

* Ako n nije prost broj ni 4, on ima bar jedan delilac koji je manji od n a veći od 2. Neka je p takav delilac, i neka je m jednako n/p. Sada možemo jednačinu napisati kao (am)p + (bm)p = (cm)p}-. Ako možemo dokazati slučaj za stepen p, stepen n je jednostavno podskup prethodnog slučaja.

Vajlsova prouka matematicarima: 
 Francuski matematičar Pjer de Ferma je izrekao daleke 1637. godine tvrđenje koje glasi: ''Nemoguće je napisati kub prirodnog broja ili četvrti stepen prirodnog broja kao zbir četvrtih stepena dva prirodna broja ili, uopšteno, bilo koji prirodan broj podignut na stepen veći od dva nemoguće je prikazati kao zbir neka dva prirodna broja podignuta na taj isti stepen''.

Naprijed navedeno tvrđenje poznato je pod nazivom Fermaova poslednja teorema (Fermaov problem). Drugim riječima, ovo tvrđenje kaže da ni za jedan prirodan broj  ne postoje tri prirodna broja ,  i  za koje važi jednakost.
 

Ferma je tvrdio da je dokazao svoju teoremu, ali ni na jednom njegovom sačuvanom spisu nema ni traga o tom dokazu.

Priča o Fermaovoj posledoj teoremi neraskidivo je povezana sa istorijom matematike i dodiruje sve glavne teme koje se tiču teorije brojeva. Fermaova poslednja teorema ima svoje korijene u matematici antičke Grčke, 2000 godina prije nego što je Pjer de Ferma postavio problem u formi koju danas poznajemo. Njen direktan predak je Pitagorina teorema.

Teoremu je, 358 godina od njene formulacije, dokazao 41 – nogodšnji englez Endru Vajls, rođen 11. aprila 1953. godine u Kembridžu. Poslije knjige iz teorije brojeva, koju je osmoškolcu Vajlsu dao njegov nastavnik matematike, poslednja Fermaova teorema je postala njegova najveća strast. Odlučio je da pronađe Fermaovo izgubljeno rješenje.

Nakon dugogodišnjeg mukotrpnog rada (7 godina), Vajls je u junu mjesecu 1993. godine objavio rješenje pomenute teoreme u sklopu niza od tri predavanja koje je održao na Institutu ''Isak Njutn'' u Kembridžu. Međutim, u dokazu je pronađeno nekoliko grešaka. Uz pomoć jednog svog učenika u septembru mjesecu 1994. godine ispravljene su sve greške u dokazu. Ovog puta nije bilo sumnje oko dokaza.

Dva rada, koja su se sastojala od ukupno 130 stranica, bila su najstrožije pregledani matematički radovi u istoriji i najzad su bili objavljeni u matematičkom časopisu Annals of Mathematics maja 1995. godine.

Vajlsov dokaz se oslanja na dokazivanje konjekture rođene 1950. godine. Logički dokaz koristi seriju matematičkih tehnika, razvijenih u poslednjoj deceniji, od kojih je neke izmislio sam Vajls. Dokaz je remek – djelo moderne matematike, što dovodi do neizbježnog zaključka da Vajlsov dokaz poslednje teoreme nije isti kao Fermaov. Ferma je zapisao da njegov dokaz ne bi stao na margine njegove kopije Diofantove Aritmetike.

I mada je Vajls morao da pribjegne metodama 20. vijeka da bi dokazao zagonetku iz 17. vijeka, on je, bez obzira na to, uspio da savlada Fermaov izazov, prema pravilima Volfskelovog komiteta. Endru Vajls je, stoga, 27. juna 1997. godine dobio nagradu Volfskel  vrijednu 50000$. Tako je Fermaova poslednja teorema zvanično bila riješena.

Da bi matematici mogao pokloniti jedan od najvećih dokaza, Vajls je znao da ju je morao neminovno lišiti njene najveće zagonetke:  ''Ljudi su mi govorili da sam im odnio problem i pitali su me da li im mogu dati neki drugi. Postojalo je osjećanje melanholije. Izgubili smo nešto što je bilo sa nama tako dugo, nešto što je mnoge od nas privuklo matematici. Vjerovatno je to uvijek tako sa matematičkim problemima. Prosto, moraju se pronaći novi, koji će i dalje držati našu pažnju''.

Iako je Vajls riješio jedan od najčuvenijih problema u matematici, oni koji vole da rješavaju probleme, širom svijeta, ne bi trebalo da gube nadu zato što postoji čitav niz još uvijek neriješenih matematičkih problema. Mnogi od njih su iz teorije brojeva.

  PREPORUCUJEM KNjIGU: "POSLEDNJA FERMEOVA TEOREMA" 

 

О, па хвала! 

Puno ti hvala za ovo